CHUYÊN ĐỀ TOÁN SỐ HỌC
I)Một số bài toán sử dụng tính tuần hoàn của các số dư khi nâng lên luỹ thừa:
Định lí: Đối với các số tự nhiên a và m tuỳ ý, các số dư của phép chia a, a2, a3, a4... cho m lặp lại một cách tuần hoàn (có thể không bắt đầu từ đầu).
Chứng minh. Ta lấy m + 1 luỹ thừa đầu tiên:
a, a2, a3, a4..., am, am+1
và xét các số dư của chúng khi chia cho m. Vì khi chia cho m chỉ có thể có các số dư {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mà lại có m + 1 số, nên trong các số trên phải có hai số có cùng số dư khi chia cho m. Chẳng hạn hai số đó là ak và ak + l, trong đó l > 0.
Khi đó: ak ( ak + l (mod m) (1)
Với mọi n ( k nhân cả hai vế của phép đồng dư (1) với an - k sẽ được:
an ( an + l (mod m)
Điều này chứng tỏ rằng bắt đầu từ vị trí tương ứng với ak các số dư lặp lại tuần hoàn.
Số l được gọi là chu kỳ tuần hoàn của các số dư khi chia luỹ thừa của a cho m.
Sau đây ta xét một số dạng bài tập sử dụng định lí trên:

Bài toán 1: Xét các luỹ thừa liên tiếp của số 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
Tìm xem khi chia các luỹ thừa này cho 5 nhận được các loại số dư nào ?
Giải: Ta có:
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 ( 3 (mod 5), 24 = 16 ( 1 (mod 5) (1)
Để tìm số dư khi chia 25 cho 5 ta nhân cả hai vế phép đồng dư (1) với 2 sẽ được:
25 = 24.2 ( 1.2 ( 2 (mod 5)
26 = 25.2 ( 2.2 ( 4 (mod 5)
27 = 26.2 ( 4.2 ( 3 (mod 5)
...
Ta viết kết quả vào hai hàng: hàng trên ghi các luỹ thừa, hàng dưới ghi số dư tương ứng khi chia các luỹ thừa này cho 5:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...

(2
4
3
1)
(2
4
3
1)
(2
4
3
...

( hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại một cách tuần hoàn: sau 4 số dư (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo đúng thứ tự trên.

Bài toán 2: Tìm số dư khi chia 22005 cho 5
Giải:
* Áp dụng kết quả trên: ta có 2005 ( 1 (mod 4) ( số dư khi chia 22005 cho 5 là 2
Bài toán 3: Tìm chữ số cuối cùng của số:

Giải: - Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, ta thực hiện theo quy trình sau qua Máy 570MS
1


2












1

...)
Nếu 570ES thì 1


2












1


…
ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
...

(2
4
8
6)
(2
4
8
6)
(2
4
8
...

( hàng thứ hai cho ta thấy rằng các số dư lặp lại tuần hoàn chu kỳ 4 số (2, 4, 8, 6)
ta có 34 = 81 ( 1 (mod 4) ( số dư khi chia
cho 10 là 2
Vậy chữ số cuối cùng của số
là 2.

Bài toán 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của số:
A = 21999 + 22000 + 22001
Giải: Xét các luỹ thừa của 2 khi chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính các luỹ thừa của 2, thực hiện theo quy trình như bài 14), ta được kết quả sau:
21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
211
212

2
(4
8
16
32
64
28
56
12
24
48
96














213
214
215